Propiedades des la relaciones y relaciones de orden.

Empecemos por decir que una relación en la que los elementos son todos son duplas se llama relación binaria. Una relación no necesariamente es binaria, se puede hacer un producto cartesiano entre varios conjuntos, o la relación que se está haciendo entre 2 conjuntos no es binaria porque cada conjunto es una tripleta, por ejemplo.

Así que una relación binaria es un tipo de relación, y es la que nos interesa.
Con eso ya claro, podemos dar unas propiedades de estas relaciones binarias:

Simetría: Es cuando se tiene una relación binaria en la cual todas las duplas tienen su dupla inversa dentro de               R. Es decir, si tenemos que hay una dupla (x,y), la propiedad de la simetría se cumple cuando                       encontremos la dupla (y,x).
Sin simetría (o relación no simétrica): Es cuando al menos una de las duplas no tiene su inversa, es decir, hay               algunas duplas que cumplen la simetría y otras no. Con encontrar una dupla que cumpla y una que                 no cumpla la simetría ya se sabe que esta propiedad se cumple para esa relación.
Antisimetría: Es cuando ninguna de las duplas tiene su inversa. Si se tiene una relación y ninguna de las                         duplas tiene su inversa, esta propiedad se cumple.
Reflexividad: Se cumple cuando se tiene una relación binaria en la que cada una de las duplas tiene los                         componentes iguales, es decir, cada elemento de la dupla es igual: (a,a),(b,b)
Sin reflexividad (o no reflexiva): Cuando algunas duplas cumplen la propiedad anterior y otras no.
Antireflexividad: Cuando en la relación no existe ninguna dupla que tenga sus componentes iguales.
Transitividad: Cuando se cumple que hay un elemento relacionado con un segundo elemento, y este segundo               a su ves está relacionado con un tercero. Se dice que el primer elemento está también relacionado                 con el tercero, en otras palabras : (a,b), (b,c) entonces se dice que (a,c)

Si quieren pueden hacer el ejercicio de hacer una relación cualquiera y representarla gráficamente. Pueden cojer una relación como y = 3x + 5 y poner varios puntos sobre el plano cartesiano. Otra forma es mediante un grafo, pero eso es un tema el cual falta bastante para ver.

Para terminar este apartado, debemos decir que todas las operaciones que se hacen con los conjuntos, y en especial el producto cartesiano y la relación, pueden hacerse en un sólo conjunto, es decir, se puede AXA y R(AXA). Todas las relaciones que veremos de aquí en adelante son de ese tipo. Un ejemplo de que esto es posible es la siguiente relación: A = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(b,c)}. Es un sólo conjunto al que se le hizo AXA y luego se ordenó mediante una propiedad.

Relación de orden: 

Es una relación binaria que cumple varias de las propiedades anteriores. Debe ser reflexiva, antisimétrica y transitiva. De esta forma, tenemos una relación en la cual no hay duplas que estén repetidas (no existe (a,b) y luego (b,a)) todas las duplas se relacionan consigo mismas ((a,a) ...) y todas las duplas se relacionan entre ellas. Estas relaciones, que surgieron de las relaciones binarias, son las que nos posibilitan y nos dan los cimientos para el álgebra booleana, el álgebra booleana, además de ser una relación de orden, son reglas que operan entre números binarios, la base con la que operan los computadores. Más adelante veremos cómo las relaciones de orden influyen en el álgebra booleana.

Un elemento es comparable con otro si son parte del mismo conjunto(x  A ^ y  A). En otras palabras, dos elementos son comparables si existe una dupla entre ellos. En una relación de orden, a veces todos los elementos son comparables, pero existen relaciones de orden en la que no todos los elementos son comparables. Entonces se dividen entre relaciones de orden total y relaciones de orden parcial. Miremos la siguiente relación de orden:
A = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(b,c)} Esta es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Todos sus elementos son comparables. Esta relación de orden es total.
Ahora miremos B =  {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)(a,d),(a,c),(c,b),(a,e),(a,b),(d,b),(d,e)} Ésta también es una relación de orden, cumple las 3 propiedades (la transitividad se cumple con que al menos un elemento sea transitivo) Pero no existe la dupla (c,d) por ejemplo. Entonces esta relación de orden es una relación de orden parcial.

Anterior y posterior:
Para hacer más fácil los elementos de una relación de orden (todavía no los hemos visto) vamos primero a darles unos nombres a los elementos de cada dupla. Entonces para una dupla cualquiera (a,b) a es anterior a b y b es posterior a a. 

Entonces podemos dar ya varios conceptos:
Máximo: El máximo es un elemento que es posterior a los demás. Es decir, que se coja cualquier elemento a del conjunto y se tenga un m que sea el máximo, m siempre será posterior. Para cuando el conjunto está representado como duplas, hay una cadena de transitividad que me lleva desde a hasta m.

Si hay elementos que no son comparables entre sí, y ellos tienen esta características, éstos son maximales.

Mínimo: Un elemento que es anterior a los demás. Es decir, que se coja cualquier elemento del conjunto b y se tenga un n que sea el mínimo, n siempre será anterior, en otras palabras, habrá una cadena de transitividad que vaya desde n hasta a. Si hay elementos que no son comparables entre sí, y ellos tienen esta características, éstos son minimales.

Si nos dan el conjunto expresado por comprensión, entonces debemos usar la lógica, o usar algo llamado diagrama de Hasse, el cual explicaré en la próxima entrada.

No siempre existe ni máximo o mínimo, son elementos que a veces están y a veces no, o a veces está uno y no el otro.

Podemos cojer un subconjunto de la relación que tengamos, y sacar los siguientes conceptos:

Tenemos 2 conjunto A y  B, B c A.
Cota superior: Un elemento de A que puede o no estar en B, es cota superior de B cuando es posterior a todos los elementos de B. Si hay una sóla cota superior, se llama la mínima cota superior. Si hay varias, la que sea más anterior, es decir, la que esté más alejada en transitividad de las varias que haya.

Cota inferior: Un elemento de A que puede o no estar en B, es cota inferior de B cuando es posterior a todos los elementos de B. Si hay una sóla cota inferior, se llama la máxima cota inferior. Si hay varias, la que sea más posterior, es decir, la que esté más cercana en transitividad de las varias que haya.

En la siguiente entrada explicaré una forma de entender todo esto de una manera gráfica con diagrama de Hasse, de tal forma que nos será mucho más fácil reconocer éstos elementos.

Tuplas ordenadas, familias de conjuntos, producto cartesiano y relación matemática.

Los términos siguientes son necesarios para una comprensión de lo que es la relación matemática y posteriormente la relación de orden. Son bastante simples y no necesitamos entrar en muchos detalles.

N-tupla ordenada:

Una n-tupla ordenada es un conjunto que tiene n elementos y son ordenados por un criterio, por ejemplo una propiedad que cumplan todos los elementos. Si usamos la notación de conjuntos sería algo como: {{t1}, {t2}, ... , {tn}} pero vamos a cambiar un poco esta notación para parecernos más a las matemáticas que usan este concepto, por ejemplo el álgebra lineal. Siendo así, una n-tupla ordenada quedaría: (t1, t2, ... , tn).

Familia de conjuntos: 

Una familia de conjuntos es algo que ya hemos visto, sólo que no le hemos dado ese nombre. Es un conjunto cuyos elementos son todos, a su ves, conjuntos.

Entonces si tenemos un conjunto de números, por ejemplo, en el que todos los elementos son conjuntos y cada uno de estos conjuntos es un par de números, se vería así: A= {(a,b) (c,d) (a,a)}. Se puede apreciar que cada subconjunto de A es un par de números. A cada par de números se les llama dupla. En general para un par de elementos (sin importar qué sean) se les llama dupla, y si está ordenada por un rasgo característico, se le llama dupla ordenada. Si fueran 3 los elementos, sería una tripleta, y así sucesivamente. Al conjunto A se le conocería entonces como un conjunto de duplas, pero lo que interesa es cada subconjunto de A, entonces A puede contener entre duplas, tripletas y cualquier n-tupla sin problemas, aunque no es lo habitual.

Producto cartesiano:
Si tenemos 2 conjuntos A y B, hay una operación que no habíamos visto antes (A X B) y consiste en crear un conjunto nuevo, cada conjunto está formado por una dupla (a,b) pero hay una singularidad, y es que a pertenecerá a A y b pertenecerá a b. De esta forma, el producto cartesiano ordena en un nuevo conjunto a cada uno de los elementos de A estará formando una dupla con cada uno de los elementos de b. Cada dupla entonces sería un elemento de este nuevo conjunto llamado producto cartesiano entre A y B. De manera formal : A X B = {(a,b)/ a  A ^b  B}. Un ejemplo básico de esto es cualquier dupla parte de una gráfica, es decir, cualquier punto sobre un plano cartesiano es un producto cartesiano en el cual el primer elemento pertenece a un conjunto X y segundo pertenece a un conjunto Y. Para dar un ejemplo pensemos en la recta y = x . En esta recta, para cada valor de x, y valdrá lo mismo, entonces una pequeña parte de la recta serían las duplas ordenadas : (0,0)(1,1)(2,2) ... (x,y). Es decir, si le das un valor a x (es el conjunto que en cálculo se le llama Dominio de la recta), el conjunto y (otro conjunto que se llama rango de la recta) tomará exactamente el mismo valor, y de esta forma, cada punto de cualquier gráfica de una función es una dupla ordenada y es el producto cartesiano del conjunto x  y el conjunto y.

Relación: La relación matemática es una operación que consiste en crear un conjunto de parejas ordenadas usando la operación A X B pero cada elemento de este conjunto además de ser cada dupla formada por un elemento de A y un elemento de B, cada dupla debe satisfacer una necesidad o tener un atributo distinguible.

Por ejemplo, si usamos el precálculo, la recta y = 2x es una relación en la que cada elemento de y es la imagen de x, es decir, teniendo a x, éste se multiplica por 2 y el resultado es la imagen, ésta sería el elemento de y con el cual se haría el par ordenado (x,y) siendo y el producto de x multiplicado por dos. Todos los elementos de y = 2x satisfacen este atributo, y de esta forma todas las duplas posibles de y = 2x son una relación matemática.

Hay algo que aclarar. No todos los elementos del primer conjunto requieren estar relacionados con elementos del segundo conjunto a través de una relación. De esta forma se dice que la relación es un subconjunto del producto cartesiano. En otras palabras, la relación entre 2 conjuntos está incluida dentro del conjunto producto cartesiano, y es posible que la relación sea un subconjunto propio de este, es decir, puede que hayan más elementos en el producto cartesiano que en la relación. 

Si alguna ves has estudiado algo de cálculo, ésto se ejemplifica cuando tienes números que no pueden ponerse dentro del dominio de una función, es decir, para ese número x, no habrá un número y.

Hay que distinguir un dominio de los que hablamos antes (cálculo) del dominio de una relación, ya que el dominio de algunos ejemplos anteriores es de algo llamado función, que es una relación pero cumple una característica que a nosotros no nos incumbe.
Vamos a darle un símbolo a la relación: R(AXB). Si lo expresamos así, estamos dando a entender que estamos sacando un subconjunto R del conjunto AXB (producto cartesiano). Usando esa notación, entonces podemos definir el dominio de una relación R(AXB), llamémoslo D(R), como un subconjunto de A (ojo, no un subconjunto del producto cartesiano ni de la relación matemática, sino un subconjunto del primer conjunto con el que se hizo el producto cartesiano) el cual cumple con que es un elemento del producto cartesiano AXB y satisface una propiedad o atributo que lo integra además en la relación. Es decir, un elemento x que hace parte de D(R) es un elemento que está tanto en A como en R. Recuerde que no todos los elementos de A estarán en R, ya que para lo segundo,  el elemento en cuestión debe satisfacer una propiedad. De esta forma, un elemento del dominio de R es el primer elemento de la dupla a la que pertenece en R. Siempre se dará, que si un elemento x  R, y siendo x el primer elemento de la dupla (x,y) este elemento pertenece a A. No puede darse que x pertenezca a R pero no pertenezca A. Lo contrario es preciso lo que nos pide que pongamos esta definición, un elemento de A no necesariamente estará en R, entonces llamamos D(R) a todos los elementos de A que están en R.

El rango es lo mismo, pero ahora con el conjunto B. Siendo así, un elemento y del conjunto b es el segundo elemento de la dupla a la que pertenece en R. Aquí hay algo, un elemento y puede no pertenecer a B y pertenecer a R. ¿Porqué? Porque el primer elemento, es decir, el elemento del conjunto A es el elemento del cual se obtiene a y, es decir, el segundo elemento y es dependiente de lo que valga x, y de esta forma en el conjunto R no necesariamente debe estar el elemento original de B, porque éste puede haber cambiado para satisfacer la necesidad de entrar en el conjunto R. A pesar de todo, esto casi nunca se dá.

Para dar un ejemplo. Si tenemos un conjunto A = {1,2,3} y B = {2,4,6} y queremos hacer AXB, el resultado sería el conjunto AXB = {(1,2),(2,4),(3,6)}. Si decimos que queremos hacer R(AXB) debemos dar una relación que puedan cumplir estos números. Si nos fijamos, el conjunto B es el conjunto A multiplicado por 2, entonces esa sería la propiedad que defina nuestro conjunto R(AXB) quedando exáctamente igual: R(AXB) = {(1,2),(2,4),(3,6)} ya que todos los elementos del conjunto AXB cumplen con la relación que se estaba pidiendo, y no siempre será así, entonces para saber qué elementos cumplen se hace y = 2x, siendo x el elemento de A y y el elemento de B. Entonces, por ejemplo, 2 = 1*2, y esto es cierto, entonces la dupla (1,2) entraría a R(AXB) y así mismo para cada dupla. 

Ya tenemos nuestra relación R(AXB) = {(1,2),(2,4),(3,6)} y queremos sacar D(R) entonces lo primero que hacemos cojer el conjunto A y mirar sus elementos: 1,2,3. Ahora cojemos a R que es un conjunto de duplas, cojemos todos los primeros elementos de este : 1,2,3 y los comparamos con los de A. Todos los elementos que sean iguales son elementos que hacen parte del dominio. De esta forma, podemos decir que los elementos del dominio no son pares ordenados sino que son elementos sencillos.
Para sacar el rango debemos usar la relación y = 2x. Todos los valores de B que cumplan esta propiedad son elementos del rango, así que nos fijamos en B: 2,4,6 y nos fijamos en los segundos elementos de las duplas de R. Todos los elementos que sean iguales hacen parte del conjunto rango de R, aunque pueden haber elementos que estén en R pero no en B, para encontrarlos sólo hace falta examinar la propiedad y = 2x, y todo elemento y hace parte del rango de R.

Inversa de una relación: Es invertir el orden de R colocando el segundo elemento como el primero, y el primero como el segundo. 

Ejemplos de operaciones con conjuntos 

La nomenclatura de los ejercicios de conjuntos es, la siguiente:
Para un elemento de un conjunto, visto por extensión, se colocan uno tras otro separados por comas.
Para un subconjunto visto por extensión, se colocan uno tras otro separados por comas y además, se encerrarán con la notación de un conjunto, es decir "{  }".

Para empezar, hay que decir, que un conjunto se puede componer de conjuntos, como los siguientes:

- Tengo 3 conjuntos: A = {{a,b},{c,d,e},{f,g}}

                              B = {a,b,c,d,e,f,g}

                              C = {{a},{b},{c},{d},{e},{f},{g}}

A = B = C??? R/ Falso. Porque, primero que todo, su cardinalidad no es la misma. Se puede ver que los elementos de los subconjuntos son los mismos, pero es un error decir que tienen los mismos elementos, ya que se están agrupando de maneras diferentes, es decir, el subconjunto {a,b} pertenece a A pero no pertenece a B, ni a C.

- Si se pide que se muestren todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado por extensión (esto se llama Potencia de A, P(A) = 2^|A|) , lo que se debe hacer es sacar todas las posibles combinaciones entre los subconjuntos: 

Empezar por el elemento vacío. Aunque este no esté explícito en la definición del conjunto por extensión, todos los conjuntos llevan entre sus elementos al elemento 0, el vacío, pero como elemento, no como subconjunto, es decir, no se encerrará entre corchetes. Luego de eso, se encerrarán entre corchetes los elementos del conjunto. Se puede apreciar mejor en el siguiente ejemplo:

C={a,b,c,d}. Este sería simplemente:{0, {a}. {b}. {c},{d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}{b,c,d}, {a,b,c,d}}. Si cuentan, están los 16 subconjuntos posibles.

Este es el tipo de ejercicio con el que vamos a tratar, sin embargo, hay algunos un poco más enredados, como el siguente:

D = {a, {b,c}, d , e} Se puede ver que D está formado por 3 elementos y un subconjunto de 1 elemento. Para el conjunto potencia, todas las combinaciones entre los elementos se incluirán como subconjuntos, es decir, con los corchetes. Si en el conjunto D hay un subconjunto, éste debe expresarse como subconjunto, no como elemento. Todos los elementos, individualemente, también entrarán en el conjunto potencia como subconjuntos. El orden no es importante en este caso, pero no deben haber repeticiones. Entonces quedaría:

P(D) = {0, {{b}}, {{c}}, {{b,c}},{a}, {d}, {a, {b}},{a, {c}}, {a,{b,c}}, {a,d},{a,e},{{b,c},d},{{b.c},e},{d,e},{{b},c},{{c}d},{{b},e},{{c},e}, {{b},{c}}, {a,{b,c},d}, {a,{b,c},e}, {a,{b,c},d,e},{{b,c},d}, {{b,c}.e},{{b,c},d,e}, {a,{b},{c},d,e}, {a,{b},{c},d,e}{a,{b},{c}, d}, {a,{b},{c}e},         {a,{b},{c}}, {{b},{c}}} Si cuentan están los 32 conjuntos posibles que se pueden hacer con el conjunto D. Este tipo de ejercicios no se presentan en el tipo especial de conjuntos que vamos a ver en las siguientes entradas, así que si no lo entienden completamente, no se preocupen, no será necesario. 

En las entradas siguientes empezaremos a ver un tipo especial de conjuntos llamado relación, y veremos una relación especial llamada relación de orden, la cual es la base que nos llevará a los sistemas binarios.

Operaciones con los conjuntos:

Debemos definir operaciones propias para los conjuntos. Ya vimos la operación de pertenencia que se cumple cuando un elemento pertenece a un conjunto. Las siguientes son las operaciones más comunes y con las que se trabaja la mayoría de los problemas de conjuntos:

La unión y la intersección también se representa como + y * respectivamente. Además de las operaciones, los conjuntos cumplen unas propiedades que las incluyen dentro de las matemáticas discretas. El complemento se representará como ' antecedida de el conjunto, es decir, si A es un conjunto, A' es su complemento. Recuerde que el universal es el conjunto total de todos los elementos que interesan en cualquier escenario o problema, y se simboliza con un 1, mientras que el conjunto vacío se simbolizará con un 0. Las reglas son las siguientes:

Conmutatividad:  A * B = B * A. Es decir, una operación de intersección puede hacerse tanto como entre el              primero y el segundo o al contrario.
             Lo mismo sucede para A + B = B + A. Las operaciones de intersección y unión no cambian su                    resultado dependiendo de el orden de los factores.
Asociatividad : (A*B)*C = A*(B*C).... (A + B) + C =  A + (B + C). Si hay 3 operaciones el orden de                    estas es libre. el resultado seguirá siendo el mismo sin importar el orden en el que se hagan.
Distributividad: A*(B+C) = A*B + A* C .... A + (B*C) = (A + B) * (A + C). Como las reglas                                matemáticas de números.
Idempotencia: A * A = A ..... A + A = A. Un conjunto que se une o se intercepta consigo mismo da como                resultado el mismo conjunto.
Involución: A'' = A. Si un conjunto se complementa 2 veces, queda el mismo. Es obvio, ya que el                              complemento es lo que le falta para ser el universal, y al complementar el universal queda el                          conjunto, de nuevo.
Acotación: A*0 = 0 ...... A + 1 = 1. También una regla obvia. Si se une un conjunto con el universal,                         quedaría el universal, y si un conjunto se intercepta con un conjunto que está vacío, queda el                         conjunto vacío como resultado.
Módulo: A + 0 = A.... A * 1 = A. Si un conjunto se une con el conjunto vacío, quedaría el mismo conjunto               como resultado, y si un conjunto se intercepta con el universal, quedaría el mismo conjunto, ya que               el universal contiene como mínimo a todos los elementos de ese conjunto.
Tercio excluido: A*A' = 0 ..... A + A' = 1. También son reglas obvias.
DeMorgan: (A * B)' = A' + B'...... (A + B)' = A' * B'. Como las reglas de la matemática, si una operación               entre conjuntos se complementa, además de complementar cada uno de los conjuntos, cambia la                   operación que se está haciendo.


Hay reglas que no tienen un nombre propio, sin embargo aquí las expondré porque son importantes: 0' = 1 ..... 1' = 0.

También hay reglas para la operación de inclusión:
A*B c A.
A c A + B.
A * B c A + B



Por último, un concepto nuevo: Cardinalidad. La cardinalidad de un conjunto es el # de elementos del que está compuesto. Se denota |A|.  Y tiene sus propias reglas:
| 0 | = 0.
|A * B| <= |A|.
|A| <= |A + B|.
|A + B| = |A| + |B| - |A *B|.

Conjuntos (definición):

Primero, ¿Porqué conjuntos? Porque este tema hace parte de la matemática discreta, dah! Pero hay una razón que es más importante y es que de aquí surge el término "álgebra booleana" que es el que nos permite usar los elementos de la lógica proposicional (tablas de verdad, teoremas de demostración, entre otras) en ciertas expresiones que no son de la lógica proposicional sino que son solo variables, pero que se comportan exactamente igual.


¿Qué es un conjunto? Es una colección de elementos. Se tiene un conjunto con todos los elementos de una situación particular y se le llama universal. Los elementos que le faltan a un conjunto para ser este universal se conoce como complemento de ese conjunto. Un elemento puede o no pertenecer a un conjunto, así que se define una operación llamada pertenencia, por ejemplo a  A, siendo a el elemento y A el conjunto, y la operación se leería: el elemento a pertenece al conjunto A. También existe su contrario a  A.

Hay 2 formas de saber los elementos de un conjunto cualquiera: comprensión y extensión. 
Definir un conjunto por extensión es definirlo escribiendo todos sus elementos, normalmente se usa en la matemática operativa para dar la solución de alguna ecuación o cualquier operación que dé como resultado un conjunto de números, ya sea finito o un intervalo. Por ejemplo si mi ejercicio era encontrar el valor de x,y en 2 ecuaciones, y mi resultado es que x = 2. y=3 entonces para dar el conjunto de soluciones escribimos   S : { (x,y) / (x,y  Reales ^ x =2, y  = 3) } De esta forma se ven los elementos del conjunto S que es el conjunto de la solución de mi problema. En la matemática discreta, la notación es un poco diferente. ya que si nos interesa definir un conjunto por extensión solo ponemos el nombre y cada uno de los elementos que pertenecen a él, en el ejemplo anterior sería así S: {2,3} y listo. Hay un problema con representar un conjunto de esta manera, pues si quiero por decir, representar el conjunto de números pares, no podría ya que es un conjunto infinito y no acabaría nunca de listar todos sus elementos, y para conjuntos que son finitos, hay muchos que son muy grandes y ex muy exhaustivo escribirlos todos. Para dar solución se puede usar la otra forma, que sería la comprensión.
Definir un conjunto por comprensión es establecer una propiedad que cumplan los elementos de ese conjunto y todos los elementos que cumplan esa propiedad pertenecen a ese conjunto. De esta forma, no es necesario escribir los elementos, sino sólo la propiedad y se entiende que cualquier elemento que cumpla dicha propiedad está en ese conjunto. También es muy usado en la matemática operativa para cuando el conjunto de solución es un conjunto infinito de números, usando el ejemplo anterior, si el resultado de mis ecuaciones fue que x = 5y  y que la ecuación donde se supone que encontraría a y me dio algo nulo, es decir 0 = 0, esto quiere decir que y puede representar a cualquier número real y se le llama parámetro. Esto significa que la solución es un conjunto infinito, ya que alberga cualquier número para y  y dependiendo de ese número se encontrará el valor de x reemplazando x = 5y. Entonces para escribir el conjunto de solución no se puede usar la extensión, sino que se usará la comprensión, de esta forma S: {(x,y)/(x,y  Reales ^ x = 5y,  y) y  Reales} Si miramos, quiere decir que y no tiene un valor fijo sino que pertenece al conjunto de los reales y puede tomar cualquier valor de ese conjunto, y x pertenece también al conjunto de los reales pero está en términos de y, es decir, depende del valor de y. Igual que por extensión, en la matemática discreta se usa una notación un poco diferente. Si usamos el ejemplo quedaría S= {x,y / x,y  R ^ p(y)}. De esta forma, x,y representa cualquier elemento de R y p(y) es una propiedad o atributo que debe exhibir el elemento y para ser parte de S. Es decir, se sabe que x y y son números reales y que son cualquier número que cumplan p(y), en este caso p(y) significa que y es un parámetro de la ecuación y esto implica que x estará definido por y.

Tablas de verdad y finalización de lógica proposicional

Para terminar este tema, vamos a ver las tablas de verdad, usadas para chequear si una proposición es verdadera o no. Verán que las propiedades de las operaciones son exactamente las mismas aquí y que de hecho las tablas de verdad no son sino formas para hacer verlas más fácil.


Las tablas se pueden construir de muchas formas, pero la idea es la misma: Tener un símbolo para cuando una proposición sea cierta y otro para cuando sea falsa. En nuestro caso como la idea es tener un dominio sobre las matemáticas que rigen los computadores, vamos a usar la nomenclatura binaria, es decir, 1 para verdadera, y 0 para falsa.


Empecemos por ver las tablas de las operaciones en la siguiente imagen. Más tarde veremos ejemplos de resolver tablas de verdad con varias proposiciones juntas y daremos por terminado la lógica proposicional.

Ahora, ¿Cómo interpretamos el resultado de una tabla de verdad, es decir, la última columna?
Normalmente dependiendo de la combinación que se está buscando, es decir, si se está buscando que p es verdadera y q falsa pues se mira en la tabla la casilla correspondiente a ese valor (1 0) y luego se va a la última columna en esa misma fila y se mira el resultado. Pero hay tablas de verdad de las que se puede hablar de todo el resultado en general:
Se denomina tautología a una proposición compuesta que es cierta siempre, sin importar el valor de verdad de  las proposiciones simples que la componen. Su tabla, en la última columna, estaría llena de unos, es decir, siempre sin importar en qué combinación esté, el resultado es 1.
Se denomina contradicción como lo contrario a tautología y es cuando se da que una proposición es falsa en cualquier combinación de las proposiciones que la componen. Su última columna es completamente de 0.

Para terminar, un ejemplo de para qué se usan las tablas de verdad.

En la anterir imagen pueden ver un circuito lógico (que no les asuste, si les explicara ahora cómo se hace, lo podrían hacer, ya que usa los temas que hemos visto hasta ahora) parte de un trabajo de una materia llamada arquitectura de computadores y la hice con un compañero de estudio.cuyo nombre aparece en la imagen xD .
Seguido de él verán una tabla de verdad. El circuito y la tabla de dicho circuito corresponde a un sumador de números binarios de 1 solo dígito. Es decir, el primer número, que en la imagen sería A es 0 o es 1 porque es un número binario. Igualmente pasa con B. Cin es algo que se llama el acarreo de entrada, y es preciso eso, un acarreo que vale 0 o 1 dependiendo de el resultado anterior, es decir, un acarreo es cuando, por decir, en una suma decimal como la de todos los días, si estamos sumando 8 + 8 = 16 entonces ponemos el 6 y de acarreo a la siguiente suma nos llevamos el 1. Así mismo pasa aquí, sólo que es una suma binaria, es decir, si se suma 1 + 1 habrá acarreo, de otra forma no, entonces este acarreo siempre será 0 o 1. Pueden ver en todo lo que he escrito que la lógica proposicional se aplica perfectamente a esto, ya que los valores de verdad son siempre 0 o 1. Así que en la tabla están las combinaciones de A, B y Cin y el resultado. Ahora mismo les parecerá un poco confusa la tabla y el circuito, pero a medida que vayamos avanzando verán que todo se reduce a temas que ya hemos visto. No les haré más spoiler. Si quieren entender el circuito y la tabla, tendrán que estar pegados un poco más al blog. No se preocupen, los que no se aguanten o ya conozcan estos temas me pueden escribir a la cuenta de google asociada a este blog y con gusto explicaré lo que falto.

Hasta aquí llega lo que vamos a ver de lógica proposicional. El siguiente tema son conjuntos. Espero que hayan disfrutado lo poco que vimos de lógica y que los temas que sigan les guste :)

Un poco más sobre el condicional y las implicaciones de éste:

Ésta será una entrada muy breve sobre el condicional y algunas implicaciones que surgen de un condicional cualquiera
Si tenemos una proposición o función p -> q , de aquí salen 3 conceptos sencillos pero útiles en todas las áreas de la matemática en la cual se usan demostraciones:


1. Recíproco         :    q -> p
2. Contrarecíproco:  ~q -> ~p
3. Contrario          :  ~ p -> ~q    

Sólo una de éstas implicaciones se puede usar para demostraciones sin tener antes que demostrar las mismas. El único que se puede usar sin previa demostración es el contrarecíproco. Éste se supone que siempre se cumple desde que se cumpla la implicación principal, los otros dos deben ser demostrados independientemente.

Reglas para demostraciones de lógica proposicional.

Como dije al comienzo del blog, en esta parte no se hará mucho énfasis, pero si es necesario mencionarla y hacer una exposición de los temas que verán a continuación. Si algún lector desea profundizar, hay muchos libros en los cuales puede encontrar mucha información.

Empecemos definiendo los conceptos que se usan en la lógica proposicional y en la matemática en general.

Axioma: Un axioma es una serie de fórmulas admitidas y dadas como ciertas, es decir, no necesitan ser demostradas.

Hipótesis o premisa: Son las fórmulas desde las cuales se va a iniciar una demostración. Son fórmulas a partir de las cuales se prueban otras que por lo general derivan de estas. Normalmente una hipótesis es un axioma.

Demostración: Es el proceso mediante el cual se obtiene una fórmula llamada conclusión o tesis empleando las reglas lógicas precisas. Se inicia con la fórmula denominada premisa y ésta se va modificando mediante las reglas hasta llegar a la conclusión. 

Vistos estos conceptos empecemos enunciando los axiomas de la lógica proposicional. Recuerde que los conceptos anteriores son conceptos de la matemática en general y figuran en todas las áreas de ésta, como la geometría euclidiana y el álgebra lineal, sin embargo los siguientes son propios de la lógica proposicional y son 4:

Adición             :    (p->q) -> (r v p -> r v q)

Adjunción         :     p -> p v q 

Conmutatividad :    p v q -> q v p
Idempotencia    :     p v p -> p

También hay reglas llamadas reglas de validez, que complementan los axiomas:
RV1: Si    r -> s   y    r    son verdaderas, entonces s es verdadera, en otras palabras ya no se necesita       comprobar si s es verdadera porque si tenemos una implicación en la que el antecedente es verdadero, entonces ya se asume que el consecuente lo es también.

RV2: Si    r y s son fórmulas que están siendo usadas en una proposición de bicondicionalidad, y éste es verdadero, se puede usar cualquiera de los dos en cualquier parte de la demostración. Es decir, podrá cambiar a r por s y a s por r.

Formas de demostrar:
Hay varias formas matemáticas para demostrar una fórmula dependiendo de qué área de la matemática se esté trabajando, normalmente estas formas son generales y se usan ampliamente en la matemática:

Método directo: Se usa para demostrar condicionales. Si se tienen 2 fórmulas r y s, y se supone que r es verdadera, se puede hacer una demostración para probar que s también lo es, y de esta forma la implicación r -> s sería verdadera, ya que dentro de la lógica proposicional está establecido que si un antecedente es verdadero, la implicación es verdadera en el caso en el que el consecuente es verdadero. 

Entonces se toma a r como una proposición o fórmula verdadera, y a partir de éste se emplean los axiomas y reglas de validez ya vistas para llegar a s como conclusión o tesis. Cuando se llega a este punto, se sabe que r -> s es verdadero.

Un ejemplo que ha sido enseñado en muchas partes (y que seguro las personas que han estudiado estos temas lo conocen) es demostrar que si p -> q y q -> r son verdaderas, entonces p -> r es verdadera. A esto se le conoce como el silogismo.

Se toma entonces como premisa a p -> q, también a q -> r ya que nos lo dicen en el enunciado,  y se empiezan a usar los axiomas y las reglas de validez.

1. p -> q                                                 premisa

2. q -> r                                                 premisa

3. (q -> r) -> (~p v q -> ~p v r)              Axioma # 4 

4. (~p v q) -> (~p v r)                             Rv 1 Entre el paso 2 y el 3 

5. (p -> q) -> (p -> r)                              Definición del condicional. (~p v q = p -> q visto antes)  

6. p -> r                                                  Rv 1 Entre el paso 1 y el 5.

Este es el procedimiento general para una demostración condicional.

Se reitera que las demostraciones no serán vistas en profundidad.
De esta forma sólo nos faltan 2 temas para terminar de ver nuestro pequeño vistaso a la lógica proposicional. Sin embargo, cuando terminemos, tendremos las herramientas suficientes para los temas que siguen. 

2 formas diferentes para expresar una misma operación:

Esta entrada va a ser un poco más corta que las demás, ya que son formas de abreviar las operaciones, PERO es muy importante, ya que de reemplazar un bloque de operaciones por una sola es algo que ayuda mucho más que todo al momento de hacer una demostración.

Si tenemos la proposición compuesta "~(~r  v ~s)" esto se puede reemplazar por "r ^s". Si miramos detenidamente, se puede ver que se está negando una disyunción entre dos proposiciones negadas, entonces con la negación de afuera del paréntesis la disyunción pasa a ser una conjunción y las dos negaciones dentro del paréntesis se eliminan (tener 2 negaciones es lo mismo que tener una afirmación) y termina quedando sólo la ^ y las dos proposiciones sin sus negaciones. Si hacemos un ejemplo r sería: "como" y s :"manejo" la proposición compuesta ~(~r  v ~s) estaría diciendo algo como "no es cierto que no como o no camino". En otras palabras, el paréntesis de adentro nos dice que no come o no camina, y con la negación de afuera termina quedando "como y camino".

Si tenemos "~r  v s" esto se puede reemplazar por "r -> s". Se usa un razonamiento similar al anterior para este.

Lógica proposicional operaciones de la lógica proposicional:  

Como veníamos hablando, se puede simbolizar una expresión en una proposición ya sea simple o compuesta. Podemos entonces pasar de una oración del lenguaje corriente a un lenguaje lógico-matemático haciendo uso de los símbolos ya sean proposiciones o símbolos de operaciones como '^' y las demás.
Aquí veremos matemática y lógicamente lo que significa las operaciones tales como la 'y', la 'o' el condicional, la negación y la doble condicional o doble implicación.

Para resumir, una 'y' hace la operación de conjunción, que son dos cosas que necesariamente están pasando en un mismo momento. La operación 'o' hace una disyunción que son cosas que pueden estar pasando al mismo tiempo, o una de las dos cosas, pero al menos una de ellas se está haciendo.

Entremos ahora en el condicional. El condicional se usa para proposiciones compuestas de 2 proposiciones simples en las cuales la segunda proposición se cumplirá, siempre y cuando se cumpla la primera. Un ejemplo de la vida diaria es "Si llueve, se mojan los carros". Este es el condicional, si p entonces q. En el ejemplo, la coma está reemplazando el término entonces, se pueden usar cualquiera de los dos términos.

El símbolo lógico que se usa para representar el condicional es '->' una especie de flecha que va desde la primera proposición apuntando a la segunda. Cuando usamos el condicional, debemos tener en cuenta que las proposiciones tienen un nombre especial aquí, es decir, se les da una etiqueta para diferencial cuál implica cuál, es decir, cual es la primera y cual es la segunda. Se llama antecedente y consecuente. El antecedente es la primera proposición, en el ejemplo anterior el antecedente sería "llueve", ya que el "si" es parte del condicional, este se omite, ya que al expresarlo en términos lógicos, no hay un símbolo sino que se sobreentiende que está ahí. Por consiguiente, el consecuente sería "se mojan los carros". Así se forma una proposición compuesta de un condicional y dos proposiciones simples. Si llamamos al antecedente como p y al consecuente como q quedaría "p -> q". De esta forma, un condicional afirma que si un antecedente se da, entonces el consecuente también se da. Si miramos el ejemplo, es normal que cuando llueva, los carros que están en la calle se mojen.

Sigamos ahora con el doble condicional, o la doble implicación. Es una extensión del condicional que hace que las dos proposiciones simples queden conectadas desde el antecedente al consecuente y desde el consecuente al antecedente. ¿Qué quiere decir esto? Significa una doble implicación, ya no solo del antecedente implicando al consecuente sino que también el consecuente implica el antecedente. Se usa para cuando es necesario tener una proposición doble en la cual se está usando el término "si y sólo si". Si miramos el ejemplo anterior y lo modificamos para que sea una doble implicación, se leería "llueve si y sólo si se mojan los carros". Lógicamente esto tiene sentido, pero si nos dijeran esto en un día cualquiera sería poco probable que la única razón por los que un carro se mojó es porque llovió, es decir, este no es un buen ejemplo para el doble condicional, pero sin duda que se usa en muchas partes.
Terminando con la explicación, tenemos que hay un condicional que va desde p a q y otro que va de q a p y simbólicamente sería "<-->".

Para terminar, hay una operación que se usa mucho y que es necesaria para resolver muchos de los problemas que salen de aquí, como las demostraciones. Es la negación. Es tan sencillo como negar una proposición, algo muy similar a lo que pasaría con un signo negativo antecediendo a un número o una variable. Su símbolo es "~" y se usa de la siguiente forma:
Si tenemos la proposición p: "el carro se deslizó", ésta es una proposición simple que no usa negación, pero si quiero que p sea :"el carro NO se deslizó" usamos la negación y quedaría ~p.


Para terminar con este texto, se pueden usar cualquiera de las ya mencionadas operaciones para conectar proposiciones simples en proposiciones complejas. En los ejemplos vimos cómo se conectaban de a 2, pero se pueden conectar tantas como alguien quiera. Por ejemplo:
p ->(q ^(r->s)). Aquí se ve que es una proposición compuesta un poco compleja. Más adelante se verá que se puede saber si dicha proposición es "verdadera" mediante tablas de verdad.