Conjuntos (definición):

Primero, ¿Porqué conjuntos? Porque este tema hace parte de la matemática discreta, dah! Pero hay una razón que es más importante y es que de aquí surge el término "álgebra booleana" que es el que nos permite usar los elementos de la lógica proposicional (tablas de verdad, teoremas de demostración, entre otras) en ciertas expresiones que no son de la lógica proposicional sino que son solo variables, pero que se comportan exactamente igual.


¿Qué es un conjunto? Es una colección de elementos. Se tiene un conjunto con todos los elementos de una situación particular y se le llama universal. Los elementos que le faltan a un conjunto para ser este universal se conoce como complemento de ese conjunto. Un elemento puede o no pertenecer a un conjunto, así que se define una operación llamada pertenencia, por ejemplo a  A, siendo a el elemento y A el conjunto, y la operación se leería: el elemento a pertenece al conjunto A. También existe su contrario a  A.

Hay 2 formas de saber los elementos de un conjunto cualquiera: comprensión y extensión. 
Definir un conjunto por extensión es definirlo escribiendo todos sus elementos, normalmente se usa en la matemática operativa para dar la solución de alguna ecuación o cualquier operación que dé como resultado un conjunto de números, ya sea finito o un intervalo. Por ejemplo si mi ejercicio era encontrar el valor de x,y en 2 ecuaciones, y mi resultado es que x = 2. y=3 entonces para dar el conjunto de soluciones escribimos   S : { (x,y) / (x,y  Reales ^ x =2, y  = 3) } De esta forma se ven los elementos del conjunto S que es el conjunto de la solución de mi problema. En la matemática discreta, la notación es un poco diferente. ya que si nos interesa definir un conjunto por extensión solo ponemos el nombre y cada uno de los elementos que pertenecen a él, en el ejemplo anterior sería así S: {2,3} y listo. Hay un problema con representar un conjunto de esta manera, pues si quiero por decir, representar el conjunto de números pares, no podría ya que es un conjunto infinito y no acabaría nunca de listar todos sus elementos, y para conjuntos que son finitos, hay muchos que son muy grandes y ex muy exhaustivo escribirlos todos. Para dar solución se puede usar la otra forma, que sería la comprensión.
Definir un conjunto por comprensión es establecer una propiedad que cumplan los elementos de ese conjunto y todos los elementos que cumplan esa propiedad pertenecen a ese conjunto. De esta forma, no es necesario escribir los elementos, sino sólo la propiedad y se entiende que cualquier elemento que cumpla dicha propiedad está en ese conjunto. También es muy usado en la matemática operativa para cuando el conjunto de solución es un conjunto infinito de números, usando el ejemplo anterior, si el resultado de mis ecuaciones fue que x = 5y  y que la ecuación donde se supone que encontraría a y me dio algo nulo, es decir 0 = 0, esto quiere decir que y puede representar a cualquier número real y se le llama parámetro. Esto significa que la solución es un conjunto infinito, ya que alberga cualquier número para y  y dependiendo de ese número se encontrará el valor de x reemplazando x = 5y. Entonces para escribir el conjunto de solución no se puede usar la extensión, sino que se usará la comprensión, de esta forma S: {(x,y)/(x,y  Reales ^ x = 5y,  y) y  Reales} Si miramos, quiere decir que y no tiene un valor fijo sino que pertenece al conjunto de los reales y puede tomar cualquier valor de ese conjunto, y x pertenece también al conjunto de los reales pero está en términos de y, es decir, depende del valor de y. Igual que por extensión, en la matemática discreta se usa una notación un poco diferente. Si usamos el ejemplo quedaría S= {x,y / x,y  R ^ p(y)}. De esta forma, x,y representa cualquier elemento de R y p(y) es una propiedad o atributo que debe exhibir el elemento y para ser parte de S. Es decir, se sabe que x y y son números reales y que son cualquier número que cumplan p(y), en este caso p(y) significa que y es un parámetro de la ecuación y esto implica que x estará definido por y.