Reglas para demostraciones de lógica proposicional.

Como dije al comienzo del blog, en esta parte no se hará mucho énfasis, pero si es necesario mencionarla y hacer una exposición de los temas que verán a continuación. Si algún lector desea profundizar, hay muchos libros en los cuales puede encontrar mucha información.

Empecemos definiendo los conceptos que se usan en la lógica proposicional y en la matemática en general.

Axioma: Un axioma es una serie de fórmulas admitidas y dadas como ciertas, es decir, no necesitan ser demostradas.

Hipótesis o premisa: Son las fórmulas desde las cuales se va a iniciar una demostración. Son fórmulas a partir de las cuales se prueban otras que por lo general derivan de estas. Normalmente una hipótesis es un axioma.

Demostración: Es el proceso mediante el cual se obtiene una fórmula llamada conclusión o tesis empleando las reglas lógicas precisas. Se inicia con la fórmula denominada premisa y ésta se va modificando mediante las reglas hasta llegar a la conclusión. 

Vistos estos conceptos empecemos enunciando los axiomas de la lógica proposicional. Recuerde que los conceptos anteriores son conceptos de la matemática en general y figuran en todas las áreas de ésta, como la geometría euclidiana y el álgebra lineal, sin embargo los siguientes son propios de la lógica proposicional y son 4:

Adición             :    (p->q) -> (r v p -> r v q)

Adjunción         :     p -> p v q 

Conmutatividad :    p v q -> q v p
Idempotencia    :     p v p -> p

También hay reglas llamadas reglas de validez, que complementan los axiomas:
RV1: Si    r -> s   y    r    son verdaderas, entonces s es verdadera, en otras palabras ya no se necesita       comprobar si s es verdadera porque si tenemos una implicación en la que el antecedente es verdadero, entonces ya se asume que el consecuente lo es también.

RV2: Si    r y s son fórmulas que están siendo usadas en una proposición de bicondicionalidad, y éste es verdadero, se puede usar cualquiera de los dos en cualquier parte de la demostración. Es decir, podrá cambiar a r por s y a s por r.

Formas de demostrar:
Hay varias formas matemáticas para demostrar una fórmula dependiendo de qué área de la matemática se esté trabajando, normalmente estas formas son generales y se usan ampliamente en la matemática:

Método directo: Se usa para demostrar condicionales. Si se tienen 2 fórmulas r y s, y se supone que r es verdadera, se puede hacer una demostración para probar que s también lo es, y de esta forma la implicación r -> s sería verdadera, ya que dentro de la lógica proposicional está establecido que si un antecedente es verdadero, la implicación es verdadera en el caso en el que el consecuente es verdadero. 

Entonces se toma a r como una proposición o fórmula verdadera, y a partir de éste se emplean los axiomas y reglas de validez ya vistas para llegar a s como conclusión o tesis. Cuando se llega a este punto, se sabe que r -> s es verdadero.

Un ejemplo que ha sido enseñado en muchas partes (y que seguro las personas que han estudiado estos temas lo conocen) es demostrar que si p -> q y q -> r son verdaderas, entonces p -> r es verdadera. A esto se le conoce como el silogismo.

Se toma entonces como premisa a p -> q, también a q -> r ya que nos lo dicen en el enunciado,  y se empiezan a usar los axiomas y las reglas de validez.

1. p -> q                                                 premisa

2. q -> r                                                 premisa

3. (q -> r) -> (~p v q -> ~p v r)              Axioma # 4 

4. (~p v q) -> (~p v r)                             Rv 1 Entre el paso 2 y el 3 

5. (p -> q) -> (p -> r)                              Definición del condicional. (~p v q = p -> q visto antes)  

6. p -> r                                                  Rv 1 Entre el paso 1 y el 5.

Este es el procedimiento general para una demostración condicional.

Se reitera que las demostraciones no serán vistas en profundidad.
De esta forma sólo nos faltan 2 temas para terminar de ver nuestro pequeño vistaso a la lógica proposicional. Sin embargo, cuando terminemos, tendremos las herramientas suficientes para los temas que siguen.