Tuplas ordenadas, familias de conjuntos, producto cartesiano y relación matemática.

Los términos siguientes son necesarios para una comprensión de lo que es la relación matemática y posteriormente la relación de orden. Son bastante simples y no necesitamos entrar en muchos detalles.

N-tupla ordenada:

Una n-tupla ordenada es un conjunto que tiene n elementos y son ordenados por un criterio, por ejemplo una propiedad que cumplan todos los elementos. Si usamos la notación de conjuntos sería algo como: {{t1}, {t2}, ... , {tn}} pero vamos a cambiar un poco esta notación para parecernos más a las matemáticas que usan este concepto, por ejemplo el álgebra lineal. Siendo así, una n-tupla ordenada quedaría: (t1, t2, ... , tn).

Familia de conjuntos: 

Una familia de conjuntos es algo que ya hemos visto, sólo que no le hemos dado ese nombre. Es un conjunto cuyos elementos son todos, a su ves, conjuntos.

Entonces si tenemos un conjunto de números, por ejemplo, en el que todos los elementos son conjuntos y cada uno de estos conjuntos es un par de números, se vería así: A= {(a,b) (c,d) (a,a)}. Se puede apreciar que cada subconjunto de A es un par de números. A cada par de números se les llama dupla. En general para un par de elementos (sin importar qué sean) se les llama dupla, y si está ordenada por un rasgo característico, se le llama dupla ordenada. Si fueran 3 los elementos, sería una tripleta, y así sucesivamente. Al conjunto A se le conocería entonces como un conjunto de duplas, pero lo que interesa es cada subconjunto de A, entonces A puede contener entre duplas, tripletas y cualquier n-tupla sin problemas, aunque no es lo habitual.

Producto cartesiano:
Si tenemos 2 conjuntos A y B, hay una operación que no habíamos visto antes (A X B) y consiste en crear un conjunto nuevo, cada conjunto está formado por una dupla (a,b) pero hay una singularidad, y es que a pertenecerá a A y b pertenecerá a b. De esta forma, el producto cartesiano ordena en un nuevo conjunto a cada uno de los elementos de A estará formando una dupla con cada uno de los elementos de b. Cada dupla entonces sería un elemento de este nuevo conjunto llamado producto cartesiano entre A y B. De manera formal : A X B = {(a,b)/ a  A ^b  B}. Un ejemplo básico de esto es cualquier dupla parte de una gráfica, es decir, cualquier punto sobre un plano cartesiano es un producto cartesiano en el cual el primer elemento pertenece a un conjunto X y segundo pertenece a un conjunto Y. Para dar un ejemplo pensemos en la recta y = x . En esta recta, para cada valor de x, y valdrá lo mismo, entonces una pequeña parte de la recta serían las duplas ordenadas : (0,0)(1,1)(2,2) ... (x,y). Es decir, si le das un valor a x (es el conjunto que en cálculo se le llama Dominio de la recta), el conjunto y (otro conjunto que se llama rango de la recta) tomará exactamente el mismo valor, y de esta forma, cada punto de cualquier gráfica de una función es una dupla ordenada y es el producto cartesiano del conjunto x  y el conjunto y.

Relación: La relación matemática es una operación que consiste en crear un conjunto de parejas ordenadas usando la operación A X B pero cada elemento de este conjunto además de ser cada dupla formada por un elemento de A y un elemento de B, cada dupla debe satisfacer una necesidad o tener un atributo distinguible.

Por ejemplo, si usamos el precálculo, la recta y = 2x es una relación en la que cada elemento de y es la imagen de x, es decir, teniendo a x, éste se multiplica por 2 y el resultado es la imagen, ésta sería el elemento de y con el cual se haría el par ordenado (x,y) siendo y el producto de x multiplicado por dos. Todos los elementos de y = 2x satisfacen este atributo, y de esta forma todas las duplas posibles de y = 2x son una relación matemática.

Hay algo que aclarar. No todos los elementos del primer conjunto requieren estar relacionados con elementos del segundo conjunto a través de una relación. De esta forma se dice que la relación es un subconjunto del producto cartesiano. En otras palabras, la relación entre 2 conjuntos está incluida dentro del conjunto producto cartesiano, y es posible que la relación sea un subconjunto propio de este, es decir, puede que hayan más elementos en el producto cartesiano que en la relación. 

Si alguna ves has estudiado algo de cálculo, ésto se ejemplifica cuando tienes números que no pueden ponerse dentro del dominio de una función, es decir, para ese número x, no habrá un número y.

Hay que distinguir un dominio de los que hablamos antes (cálculo) del dominio de una relación, ya que el dominio de algunos ejemplos anteriores es de algo llamado función, que es una relación pero cumple una característica que a nosotros no nos incumbe.
Vamos a darle un símbolo a la relación: R(AXB). Si lo expresamos así, estamos dando a entender que estamos sacando un subconjunto R del conjunto AXB (producto cartesiano). Usando esa notación, entonces podemos definir el dominio de una relación R(AXB), llamémoslo D(R), como un subconjunto de A (ojo, no un subconjunto del producto cartesiano ni de la relación matemática, sino un subconjunto del primer conjunto con el que se hizo el producto cartesiano) el cual cumple con que es un elemento del producto cartesiano AXB y satisface una propiedad o atributo que lo integra además en la relación. Es decir, un elemento x que hace parte de D(R) es un elemento que está tanto en A como en R. Recuerde que no todos los elementos de A estarán en R, ya que para lo segundo,  el elemento en cuestión debe satisfacer una propiedad. De esta forma, un elemento del dominio de R es el primer elemento de la dupla a la que pertenece en R. Siempre se dará, que si un elemento x  R, y siendo x el primer elemento de la dupla (x,y) este elemento pertenece a A. No puede darse que x pertenezca a R pero no pertenezca A. Lo contrario es preciso lo que nos pide que pongamos esta definición, un elemento de A no necesariamente estará en R, entonces llamamos D(R) a todos los elementos de A que están en R.

El rango es lo mismo, pero ahora con el conjunto B. Siendo así, un elemento y del conjunto b es el segundo elemento de la dupla a la que pertenece en R. Aquí hay algo, un elemento y puede no pertenecer a B y pertenecer a R. ¿Porqué? Porque el primer elemento, es decir, el elemento del conjunto A es el elemento del cual se obtiene a y, es decir, el segundo elemento y es dependiente de lo que valga x, y de esta forma en el conjunto R no necesariamente debe estar el elemento original de B, porque éste puede haber cambiado para satisfacer la necesidad de entrar en el conjunto R. A pesar de todo, esto casi nunca se dá.

Para dar un ejemplo. Si tenemos un conjunto A = {1,2,3} y B = {2,4,6} y queremos hacer AXB, el resultado sería el conjunto AXB = {(1,2),(2,4),(3,6)}. Si decimos que queremos hacer R(AXB) debemos dar una relación que puedan cumplir estos números. Si nos fijamos, el conjunto B es el conjunto A multiplicado por 2, entonces esa sería la propiedad que defina nuestro conjunto R(AXB) quedando exáctamente igual: R(AXB) = {(1,2),(2,4),(3,6)} ya que todos los elementos del conjunto AXB cumplen con la relación que se estaba pidiendo, y no siempre será así, entonces para saber qué elementos cumplen se hace y = 2x, siendo x el elemento de A y y el elemento de B. Entonces, por ejemplo, 2 = 1*2, y esto es cierto, entonces la dupla (1,2) entraría a R(AXB) y así mismo para cada dupla. 

Ya tenemos nuestra relación R(AXB) = {(1,2),(2,4),(3,6)} y queremos sacar D(R) entonces lo primero que hacemos cojer el conjunto A y mirar sus elementos: 1,2,3. Ahora cojemos a R que es un conjunto de duplas, cojemos todos los primeros elementos de este : 1,2,3 y los comparamos con los de A. Todos los elementos que sean iguales son elementos que hacen parte del dominio. De esta forma, podemos decir que los elementos del dominio no son pares ordenados sino que son elementos sencillos.
Para sacar el rango debemos usar la relación y = 2x. Todos los valores de B que cumplan esta propiedad son elementos del rango, así que nos fijamos en B: 2,4,6 y nos fijamos en los segundos elementos de las duplas de R. Todos los elementos que sean iguales hacen parte del conjunto rango de R, aunque pueden haber elementos que estén en R pero no en B, para encontrarlos sólo hace falta examinar la propiedad y = 2x, y todo elemento y hace parte del rango de R.

Inversa de una relación: Es invertir el orden de R colocando el segundo elemento como el primero, y el primero como el segundo.