Lógica proposicional operaciones de la lógica proposicional:
Como veníamos hablando, se puede simbolizar una expresión en una proposición ya sea simple o compuesta. Podemos entonces pasar de una oración del lenguaje corriente a un lenguaje lógico-matemático haciendo uso de los símbolos ya sean proposiciones o símbolos de operaciones como '^' y las demás.
Aquí veremos matemática y lógicamente lo que significa las operaciones tales como la 'y', la 'o' el condicional, la negación y la doble condicional o doble implicación.
Para resumir, una 'y' hace la operación de conjunción, que son dos cosas que necesariamente están pasando en un mismo momento. La operación 'o' hace una disyunción que son cosas que pueden estar pasando al mismo tiempo, o una de las dos cosas, pero al menos una de ellas se está haciendo.
Entremos ahora en el condicional. El condicional se usa para proposiciones compuestas de 2 proposiciones simples en las cuales la segunda proposición se cumplirá, siempre y cuando se cumpla la primera. Un ejemplo de la vida diaria es "Si llueve, se mojan los carros". Este es el condicional, si p entonces q. En el ejemplo, la coma está reemplazando el término entonces, se pueden usar cualquiera de los dos términos.
El símbolo lógico que se usa para representar el condicional es '->' una especie de flecha que va desde la primera proposición apuntando a la segunda. Cuando usamos el condicional, debemos tener en cuenta que las proposiciones tienen un nombre especial aquí, es decir, se les da una etiqueta para diferencial cuál implica cuál, es decir, cual es la primera y cual es la segunda. Se llama antecedente y consecuente. El antecedente es la primera proposición, en el ejemplo anterior el antecedente sería "llueve", ya que el "si" es parte del condicional, este se omite, ya que al expresarlo en términos lógicos, no hay un símbolo sino que se sobreentiende que está ahí. Por consiguiente, el consecuente sería "se mojan los carros". Así se forma una proposición compuesta de un condicional y dos proposiciones simples. Si llamamos al antecedente como p y al consecuente como q quedaría "p -> q". De esta forma, un condicional afirma que si un antecedente se da, entonces el consecuente también se da. Si miramos el ejemplo, es normal que cuando llueva, los carros que están en la calle se mojen.
Sigamos ahora con el doble condicional, o la doble implicación. Es una extensión del condicional que hace que las dos proposiciones simples queden conectadas desde el antecedente al consecuente y desde el consecuente al antecedente. ¿Qué quiere decir esto? Significa una doble implicación, ya no solo del antecedente implicando al consecuente sino que también el consecuente implica el antecedente. Se usa para cuando es necesario tener una proposición doble en la cual se está usando el término "si y sólo si". Si miramos el ejemplo anterior y lo modificamos para que sea una doble implicación, se leería "llueve si y sólo si se mojan los carros". Lógicamente esto tiene sentido, pero si nos dijeran esto en un día cualquiera sería poco probable que la única razón por los que un carro se mojó es porque llovió, es decir, este no es un buen ejemplo para el doble condicional, pero sin duda que se usa en muchas partes.
Terminando con la explicación, tenemos que hay un condicional que va desde p a q y otro que va de q a p y simbólicamente sería "<-->".
Para terminar, hay una operación que se usa mucho y que es necesaria para resolver muchos de los problemas que salen de aquí, como las demostraciones. Es la negación. Es tan sencillo como negar una proposición, algo muy similar a lo que pasaría con un signo negativo antecediendo a un número o una variable. Su símbolo es "~" y se usa de la siguiente forma:
Si tenemos la proposición p: "el carro se deslizó", ésta es una proposición simple que no usa negación, pero si quiero que p sea :"el carro NO se deslizó" usamos la negación y quedaría ~p.
Para terminar con este texto, se pueden usar cualquiera de las ya mencionadas operaciones para conectar proposiciones simples en proposiciones complejas. En los ejemplos vimos cómo se conectaban de a 2, pero se pueden conectar tantas como alguien quiera. Por ejemplo:
p ->(q ^(r->s)). Aquí se ve que es una proposición compuesta un poco compleja. Más adelante se verá que se puede saber si dicha proposición es "verdadera" mediante tablas de verdad.
Aquí veremos matemática y lógicamente lo que significa las operaciones tales como la 'y', la 'o' el condicional, la negación y la doble condicional o doble implicación.
Para resumir, una 'y' hace la operación de conjunción, que son dos cosas que necesariamente están pasando en un mismo momento. La operación 'o' hace una disyunción que son cosas que pueden estar pasando al mismo tiempo, o una de las dos cosas, pero al menos una de ellas se está haciendo.
Entremos ahora en el condicional. El condicional se usa para proposiciones compuestas de 2 proposiciones simples en las cuales la segunda proposición se cumplirá, siempre y cuando se cumpla la primera. Un ejemplo de la vida diaria es "Si llueve, se mojan los carros". Este es el condicional, si p entonces q. En el ejemplo, la coma está reemplazando el término entonces, se pueden usar cualquiera de los dos términos.
El símbolo lógico que se usa para representar el condicional es '->' una especie de flecha que va desde la primera proposición apuntando a la segunda. Cuando usamos el condicional, debemos tener en cuenta que las proposiciones tienen un nombre especial aquí, es decir, se les da una etiqueta para diferencial cuál implica cuál, es decir, cual es la primera y cual es la segunda. Se llama antecedente y consecuente. El antecedente es la primera proposición, en el ejemplo anterior el antecedente sería "llueve", ya que el "si" es parte del condicional, este se omite, ya que al expresarlo en términos lógicos, no hay un símbolo sino que se sobreentiende que está ahí. Por consiguiente, el consecuente sería "se mojan los carros". Así se forma una proposición compuesta de un condicional y dos proposiciones simples. Si llamamos al antecedente como p y al consecuente como q quedaría "p -> q". De esta forma, un condicional afirma que si un antecedente se da, entonces el consecuente también se da. Si miramos el ejemplo, es normal que cuando llueva, los carros que están en la calle se mojen.
Sigamos ahora con el doble condicional, o la doble implicación. Es una extensión del condicional que hace que las dos proposiciones simples queden conectadas desde el antecedente al consecuente y desde el consecuente al antecedente. ¿Qué quiere decir esto? Significa una doble implicación, ya no solo del antecedente implicando al consecuente sino que también el consecuente implica el antecedente. Se usa para cuando es necesario tener una proposición doble en la cual se está usando el término "si y sólo si". Si miramos el ejemplo anterior y lo modificamos para que sea una doble implicación, se leería "llueve si y sólo si se mojan los carros". Lógicamente esto tiene sentido, pero si nos dijeran esto en un día cualquiera sería poco probable que la única razón por los que un carro se mojó es porque llovió, es decir, este no es un buen ejemplo para el doble condicional, pero sin duda que se usa en muchas partes.
Terminando con la explicación, tenemos que hay un condicional que va desde p a q y otro que va de q a p y simbólicamente sería "<-->".
Para terminar, hay una operación que se usa mucho y que es necesaria para resolver muchos de los problemas que salen de aquí, como las demostraciones. Es la negación. Es tan sencillo como negar una proposición, algo muy similar a lo que pasaría con un signo negativo antecediendo a un número o una variable. Su símbolo es "~" y se usa de la siguiente forma:
Si tenemos la proposición p: "el carro se deslizó", ésta es una proposición simple que no usa negación, pero si quiero que p sea :"el carro NO se deslizó" usamos la negación y quedaría ~p.
Para terminar con este texto, se pueden usar cualquiera de las ya mencionadas operaciones para conectar proposiciones simples en proposiciones complejas. En los ejemplos vimos cómo se conectaban de a 2, pero se pueden conectar tantas como alguien quiera. Por ejemplo:
p ->(q ^(r->s)). Aquí se ve que es una proposición compuesta un poco compleja. Más adelante se verá que se puede saber si dicha proposición es "verdadera" mediante tablas de verdad.
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