Propiedades des la relaciones y relaciones de orden.

Empecemos por decir que una relación en la que los elementos son todos son duplas se llama relación binaria. Una relación no necesariamente es binaria, se puede hacer un producto cartesiano entre varios conjuntos, o la relación que se está haciendo entre 2 conjuntos no es binaria porque cada conjunto es una tripleta, por ejemplo.

Así que una relación binaria es un tipo de relación, y es la que nos interesa.
Con eso ya claro, podemos dar unas propiedades de estas relaciones binarias:

Simetría: Es cuando se tiene una relación binaria en la cual todas las duplas tienen su dupla inversa dentro de               R. Es decir, si tenemos que hay una dupla (x,y), la propiedad de la simetría se cumple cuando                       encontremos la dupla (y,x).
Sin simetría (o relación no simétrica): Es cuando al menos una de las duplas no tiene su inversa, es decir, hay               algunas duplas que cumplen la simetría y otras no. Con encontrar una dupla que cumpla y una que                 no cumpla la simetría ya se sabe que esta propiedad se cumple para esa relación.
Antisimetría: Es cuando ninguna de las duplas tiene su inversa. Si se tiene una relación y ninguna de las                         duplas tiene su inversa, esta propiedad se cumple.
Reflexividad: Se cumple cuando se tiene una relación binaria en la que cada una de las duplas tiene los                         componentes iguales, es decir, cada elemento de la dupla es igual: (a,a),(b,b)
Sin reflexividad (o no reflexiva): Cuando algunas duplas cumplen la propiedad anterior y otras no.
Antireflexividad: Cuando en la relación no existe ninguna dupla que tenga sus componentes iguales.
Transitividad: Cuando se cumple que hay un elemento relacionado con un segundo elemento, y este segundo               a su ves está relacionado con un tercero. Se dice que el primer elemento está también relacionado                 con el tercero, en otras palabras : (a,b), (b,c) entonces se dice que (a,c)

Si quieren pueden hacer el ejercicio de hacer una relación cualquiera y representarla gráficamente. Pueden cojer una relación como y = 3x + 5 y poner varios puntos sobre el plano cartesiano. Otra forma es mediante un grafo, pero eso es un tema el cual falta bastante para ver.

Para terminar este apartado, debemos decir que todas las operaciones que se hacen con los conjuntos, y en especial el producto cartesiano y la relación, pueden hacerse en un sólo conjunto, es decir, se puede AXA y R(AXA). Todas las relaciones que veremos de aquí en adelante son de ese tipo. Un ejemplo de que esto es posible es la siguiente relación: A = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(b,c)}. Es un sólo conjunto al que se le hizo AXA y luego se ordenó mediante una propiedad.

Relación de orden: 

Es una relación binaria que cumple varias de las propiedades anteriores. Debe ser reflexiva, antisimétrica y transitiva. De esta forma, tenemos una relación en la cual no hay duplas que estén repetidas (no existe (a,b) y luego (b,a)) todas las duplas se relacionan consigo mismas ((a,a) ...) y todas las duplas se relacionan entre ellas. Estas relaciones, que surgieron de las relaciones binarias, son las que nos posibilitan y nos dan los cimientos para el álgebra booleana, el álgebra booleana, además de ser una relación de orden, son reglas que operan entre números binarios, la base con la que operan los computadores. Más adelante veremos cómo las relaciones de orden influyen en el álgebra booleana.

Un elemento es comparable con otro si son parte del mismo conjunto(x  A ^ y  A). En otras palabras, dos elementos son comparables si existe una dupla entre ellos. En una relación de orden, a veces todos los elementos son comparables, pero existen relaciones de orden en la que no todos los elementos son comparables. Entonces se dividen entre relaciones de orden total y relaciones de orden parcial. Miremos la siguiente relación de orden:
A = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(b,c)} Esta es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Todos sus elementos son comparables. Esta relación de orden es total.
Ahora miremos B =  {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)(a,d),(a,c),(c,b),(a,e),(a,b),(d,b),(d,e)} Ésta también es una relación de orden, cumple las 3 propiedades (la transitividad se cumple con que al menos un elemento sea transitivo) Pero no existe la dupla (c,d) por ejemplo. Entonces esta relación de orden es una relación de orden parcial.

Anterior y posterior:
Para hacer más fácil los elementos de una relación de orden (todavía no los hemos visto) vamos primero a darles unos nombres a los elementos de cada dupla. Entonces para una dupla cualquiera (a,b) a es anterior a b y b es posterior a a. 

Entonces podemos dar ya varios conceptos:
Máximo: El máximo es un elemento que es posterior a los demás. Es decir, que se coja cualquier elemento a del conjunto y se tenga un m que sea el máximo, m siempre será posterior. Para cuando el conjunto está representado como duplas, hay una cadena de transitividad que me lleva desde a hasta m.

Si hay elementos que no son comparables entre sí, y ellos tienen esta características, éstos son maximales.

Mínimo: Un elemento que es anterior a los demás. Es decir, que se coja cualquier elemento del conjunto b y se tenga un n que sea el mínimo, n siempre será anterior, en otras palabras, habrá una cadena de transitividad que vaya desde n hasta a. Si hay elementos que no son comparables entre sí, y ellos tienen esta características, éstos son minimales.

Si nos dan el conjunto expresado por comprensión, entonces debemos usar la lógica, o usar algo llamado diagrama de Hasse, el cual explicaré en la próxima entrada.

No siempre existe ni máximo o mínimo, son elementos que a veces están y a veces no, o a veces está uno y no el otro.

Podemos cojer un subconjunto de la relación que tengamos, y sacar los siguientes conceptos:

Tenemos 2 conjunto A y  B, B c A.
Cota superior: Un elemento de A que puede o no estar en B, es cota superior de B cuando es posterior a todos los elementos de B. Si hay una sóla cota superior, se llama la mínima cota superior. Si hay varias, la que sea más anterior, es decir, la que esté más alejada en transitividad de las varias que haya.

Cota inferior: Un elemento de A que puede o no estar en B, es cota inferior de B cuando es posterior a todos los elementos de B. Si hay una sóla cota inferior, se llama la máxima cota inferior. Si hay varias, la que sea más posterior, es decir, la que esté más cercana en transitividad de las varias que haya.

En la siguiente entrada explicaré una forma de entender todo esto de una manera gráfica con diagrama de Hasse, de tal forma que nos será mucho más fácil reconocer éstos elementos.