Tablas de verdad y finalización de lógica proposicional

Para terminar este tema, vamos a ver las tablas de verdad, usadas para chequear si una proposición es verdadera o no. Verán que las propiedades de las operaciones son exactamente las mismas aquí y que de hecho las tablas de verdad no son sino formas para hacer verlas más fácil.


Las tablas se pueden construir de muchas formas, pero la idea es la misma: Tener un símbolo para cuando una proposición sea cierta y otro para cuando sea falsa. En nuestro caso como la idea es tener un dominio sobre las matemáticas que rigen los computadores, vamos a usar la nomenclatura binaria, es decir, 1 para verdadera, y 0 para falsa.


Empecemos por ver las tablas de las operaciones en la siguiente imagen. Más tarde veremos ejemplos de resolver tablas de verdad con varias proposiciones juntas y daremos por terminado la lógica proposicional.

Ahora, ¿Cómo interpretamos el resultado de una tabla de verdad, es decir, la última columna?
Normalmente dependiendo de la combinación que se está buscando, es decir, si se está buscando que p es verdadera y q falsa pues se mira en la tabla la casilla correspondiente a ese valor (1 0) y luego se va a la última columna en esa misma fila y se mira el resultado. Pero hay tablas de verdad de las que se puede hablar de todo el resultado en general:
Se denomina tautología a una proposición compuesta que es cierta siempre, sin importar el valor de verdad de  las proposiciones simples que la componen. Su tabla, en la última columna, estaría llena de unos, es decir, siempre sin importar en qué combinación esté, el resultado es 1.
Se denomina contradicción como lo contrario a tautología y es cuando se da que una proposición es falsa en cualquier combinación de las proposiciones que la componen. Su última columna es completamente de 0.

Para terminar, un ejemplo de para qué se usan las tablas de verdad.

En la anterir imagen pueden ver un circuito lógico (que no les asuste, si les explicara ahora cómo se hace, lo podrían hacer, ya que usa los temas que hemos visto hasta ahora) parte de un trabajo de una materia llamada arquitectura de computadores y la hice con un compañero de estudio.cuyo nombre aparece en la imagen xD .
Seguido de él verán una tabla de verdad. El circuito y la tabla de dicho circuito corresponde a un sumador de números binarios de 1 solo dígito. Es decir, el primer número, que en la imagen sería A es 0 o es 1 porque es un número binario. Igualmente pasa con B. Cin es algo que se llama el acarreo de entrada, y es preciso eso, un acarreo que vale 0 o 1 dependiendo de el resultado anterior, es decir, un acarreo es cuando, por decir, en una suma decimal como la de todos los días, si estamos sumando 8 + 8 = 16 entonces ponemos el 6 y de acarreo a la siguiente suma nos llevamos el 1. Así mismo pasa aquí, sólo que es una suma binaria, es decir, si se suma 1 + 1 habrá acarreo, de otra forma no, entonces este acarreo siempre será 0 o 1. Pueden ver en todo lo que he escrito que la lógica proposicional se aplica perfectamente a esto, ya que los valores de verdad son siempre 0 o 1. Así que en la tabla están las combinaciones de A, B y Cin y el resultado. Ahora mismo les parecerá un poco confusa la tabla y el circuito, pero a medida que vayamos avanzando verán que todo se reduce a temas que ya hemos visto. No les haré más spoiler. Si quieren entender el circuito y la tabla, tendrán que estar pegados un poco más al blog. No se preocupen, los que no se aguanten o ya conozcan estos temas me pueden escribir a la cuenta de google asociada a este blog y con gusto explicaré lo que falto.

Hasta aquí llega lo que vamos a ver de lógica proposicional. El siguiente tema son conjuntos. Espero que hayan disfrutado lo poco que vimos de lógica y que los temas que sigan les guste :)